一保高考，全练题型做到高考达标
1.(2019·海安检测)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
(3)若二面角AB1EA1的大小为30°，求AB的长．
解：(1)证明：以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，
故＝(0,1,1)，＝.
∵·＝0＋1－1＝0，∴⊥，即B1E⊥AD1.
(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)．
由(1)知，＝(a,0,1)，＝.
设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．
则即
取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝.
要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，即－az0＝0，
解得z0＝.
又∵DP⊄平面B1AE，
∴在棱AA1上存在一点P，满足DP∥平面B1AE，
