课时作业5 函数的单调性与导数
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)上是增函数．则甲是乙的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：f(x)＝x3在(－1,1)上是增函数，但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A．
2．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是( C )
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在(1,3)上f(x)是减函数
C．在(4,5)上f(x)是增函数
D．在(－3，－2)上f(x)是增函数
解析：由题图知当x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(4,5)上，f(x)是增函数．
3．已知函数y＝f(x)在定义域[－4,6]内可导，其图象如右图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为( A )
A．∪
B．[－3,0]∪
C．∪
D．[－4，－3]∪[0,1]∪[5,6]
解析：不等式f′(x)≤0的解集即函数y＝f(x)的减区间，由题图知y＝f(x)的减区间为，，故f′(x)≤0的解集为∪.
4．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为( B )
A．(－1,1] B ．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：根据函数的导数小于0的解集就是函数的单调减区间求解．由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y′＝x－≤0，解得0<x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．
5．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是( A )
A．a≥1 B ．a＝1
C．a≤1 D．0<a<1
解析：f′(x)＝3x2－2ax－1.∵f(x)在(0,1)内单调递减，
∴不等式3x2－2ax－1<0在(0,1)内恒成立．
∴f′(0)≤0，f′(1)≤0.∴a≥1.故选A．
6．对于定义在R上的任意非常数函数f(x)，若满足(x－1)·f′(x)≥0，则必有( D )
A．f(0)＋f(2)<2f(1) B ．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)
解析：由题意，当x≥1时，f′(x)≥0，当x<1时，f′(x)≤0，所以函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)，所以f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，所以f(0)＋f(2)>2f(1)．
7．设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( A )
A．g(a)<0<f(b) B ．f(b)<0<g(a)
C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0
解析：因为f′(x)＝ex＋1>0，所以f(x)＝ex＋x－2在其定义域内是单调递增的，由f(a)＝0知0<a<1，又因为x>0，g′(x)＝＋2x>0，故g(x)＝lnx＋x2－3在(0，＋∞)上也是单调递增的，由g(b)＝0知1<b<2，所以g(a)<g(b)＝0,0＝f(a)<f(b)，因此g(a)<0<f(b)．
