课时作业8 生活中的优化问题举例
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( C )
A．8 B .
C．－1 D．－8
解析：原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( B )
A．2和6 B ．4和4
C．3和5 D．以上都不对
解析：设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当4<x≤8时，y′>0.所以当x＝4时，y最小．
3．圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径之比为( A )
A．21 B ．12
C．14 D．41
解析：设其体积为V，高与底面半径分别为h，r，则V＝πr2h，即h＝.由题意，知当表面积S最小时所用材料最省，S＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2πr·＝2πr2＋.令S′＝4πr－＝0，得r＝，当r＝时，h＝＝，则hr＝21时，所用材料最省．
4．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产( A )
A．6千台 B ．7千台
C．8千台 D．9千台
解析：设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．
令y′＝0，解得x＝0(舍)或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．
5．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( A )
A．32米，16米 B ．30米，15米
C．40米，20米 D．36米，18米
解析：设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米，其他两边的边长均为y米，则xy＝512.
则所用材料l＝x＋2y＝2y＋(y>0)，
求导数，得l′＝2－.
令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)．
当0<y<16时，l′<0；当y>16时，l′>0.
所以y＝16是函数l＝2y＋(y>0)的极小值点，也是最小值点．此时，x＝＝32.
所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省．
6．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( B )
A．120 000 cm3 B ．128 000 cm3
C．150 000 cm3 D．158 000 cm3
解析：设水箱底边长为x cm，则水箱高h＝60－(cm)．
水箱容积V＝V(x)＝x2h＝60x2－(cm3)(0<x<120)．
V′(x)＝120x－x2.
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝80.
可判断得当x＝80 cm时，V取最大值为128 000 cm3.
7．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积为最大，则高为( D )
A． cm B . cm
C． cm D． cm
