§4 数据的数字特征
知识点一 众数、中位数、平均数
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1．众数
(1)定义：一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数．
(2)特征：一组数据的众数可能多个，也可能没有，它反映了该组数据的频率分布．
2．中位数
(1)定义：一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数．
(2)特征：一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势．
3．平均数
(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商叫作这组数据的平均数，数据x1，x2，…，xn的平均数为＝.
(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的平均水平，但平均数受数据中的每一个数据的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．
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1．一组数据的平均数是否一定能说明现实中的平均水平？
提示：在用平均数估计总体时，样本中的每一个数据都会影响到平均数的大小，因此在实际操作中，一定要注意异常数据对平均数的影响，以便作出正确估计．
比如：某地区的年平均家庭年收入是10万元，给人的印象是这个地区的家庭年收入普遍较高．但是，如果这个平均数是从200户贫困家庭和20户极富有的家庭年收入计算出来的，那么，它就既不能代表贫困家庭的年收入，也不能代表极富有家庭的年收入．
知识点二 标准差、方差、极差
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4．标准差
(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用以下公式来计算
s＝.
可以用计算器或计算机计算标准差．
(2)特征：标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小．
5．方差
(1)定义：标准差的平方，即
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
(2)特征：与标准差的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动的大小．
(3)取值范围：s2≥0.
6．极差
(1)定义：一组数据的最大值和最小值的差称为这组数据的极差．
(2)特征：表示该组数据之间的差异情况．
[答一答]
2．怎样正确理解标准差与方差．
提示：①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
②标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．
③因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．
