8．1.2 向量数量积的运算律
[课程目标] 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．
2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．
[填一填]
平面向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；
(3)数乘向量结合律：对任意实数λ，有λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
[答一答]
应用两向量数量积运算应避免哪些思维误区？
提示：(1)向量的数量积运算不满足消去律．同学们在学习中容易错误地认为：由b·c＝c·a(其中c≠0)，可以约去c而得到b＝a.事实上，a与b完全可以方向不同．处理等式b·c＝c·a的手段是移项提取，即c·(a－b)＝0，所以c⊥(a－b)．
(2)向量的数量积运算同样也不满足乘法结合律．由于实数满足(a·b)·c＝a·(b·c)，从而容易错误地认为向量的数量积也满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．
可以这样理解：(a·b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a共线的向量，显然a与c不一定同向，所以二者一般不相等．
类型一 向量数量积的运算律
[例1] 给出下列结论：
①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________．
[解析] 因为两个非零向量a，b垂直时，a·b＝0，故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；
向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；
a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．
[答案] ④
向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处．例如，由a·b＝0不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律，即一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c)．
[变式训练1] 设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：
①a·c－b·c＝(a－b)·c；
②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
③|a|－|b|<|a－b|；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的序号是①③④.
解析：根据向量的数量积的分配律知①正确；
因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c
＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；
因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，
∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；
④正确．故正确命题的序号是①③④.
