8．1.3 向量数量积的坐标运算
[课程目标] 1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐标运算．
2．能运用数量积表示两个向量的夹角，计算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
[填一填]
1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
(1)向量内积的坐标运算
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)用向量的坐标表示两个向量垂直的条件
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
2．向量的长度，距离和夹角公式
(1)向量的长度
已知a＝(x1，y1)，则|a|＝.
(2)两点间的距离
如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则||＝.
(3)两向量的夹角
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则cos〈a，b〉＝.
[答一答]
1．向量数量积的运算性质怎样用坐标表示？
提示：设单位向量e＝(1,0)，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．
(1)a·e＝e·a⇔a1＝cos〈a，e〉；
(2)a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0；
(3)a·a＝|a|2⇔|a|＝；
(4)cos〈a，b〉＝⇔cos〈a，b〉＝；
(5)|a·b|≤|a||b|⇔|a1b1＋a2b2|≤·
.
2．垂直向量和平行向量的坐标有什么关系？
提示：已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．
(1)如果a⊥b，则a1b1＋a2b2＝0；反之，如果a1b1＋a2b2＝0，则a⊥B．
(2)如果a⊥b，则向量(a1，a2)与(－b2，b1)平行．这是因为由a⊥b，得a1b1＋a2b2＝0(*)，当b1b2≠0时，*式可以表示为＝，即向量(a1，a2)与(－b2，b1)平行．
(3)对任意实数k，向量k(－b2，b1)与向量(b1，b2)垂直．
运用向量垂直的条件，可以判定两向量是否垂直，又可以由垂直关系求参数．
3．应用两向量的夹角公式应注意什么问题？
提示：(1)运用向量内积的坐标运算求两向量的夹角，cos〈a，b〉的符号由a1b1＋a2b2确定，若a1b1＋a2b2＝0，则〈a，b〉＝，此时a⊥b；若a1b1＋a2b2>0，则〈a，b〉∈；若a1b1＋a2b2<0，则〈a，b〉∈.
(2)当cos〈a，b〉＝±1时，向量a与b共线，若a与b同向时，a1b1＋a2b2＝·；若a与b反向时，a1b1＋a2b2＝－·.
运用此公式可以求平面内任意两个非零向量的夹角．
