8．2.2 两角和与差的正弦、正切
第1课时 两角和与差的正弦
[课程目标] 1.理解两角和与差的正弦公式的推导过程及公式的结构特征．
2．掌握两角和与差的正弦公式并能运用公式进行化简和求值．
[填一填]
1．两角和与差的正弦公式
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，(Sα＋β)
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.(Sα－β)
2．公式的推导
(1)两角和的正弦公式的推导
运用Cα－β和诱导公式，有
sin(α＋β)＝cos
＝cos
＝coscosβ＋sinsinβ
＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
(2)两角差的正弦公式的推导
在公式Sα＋β中用－β代替β可以得到 sin(α－β)
＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，
即sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，
将其简记为Sα－β，即差角的正弦公式．
3．化一公式
y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cosθ＝，sinθ＝ .
[答一答]
1．应用两角和与差的正弦公式应注意哪些问题？
提示：(1)公式中的α，β均为任意角．
(2)当α(或β)中有一个是的整数倍角时，直接利用诱导公式更简捷一些．
(3)对公式的应用，要能熟练地“正用”“逆用”“变形用”，如sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin[(α＋β)－β]＝sinα.
(4)公式的结构特征：两个角的正、余弦交叉相乘再相加(减)，即“正余余正符号同”．要注意与两角和与差的余弦公式“余余正正符号异”对比记忆．
(5)正弦函数的计算不符合分配律，即sin(α－β)≠sinα－sinβ.
2．使用公式asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)时应注意什么问题？
提示：(1)asinx，bcosx中的x是同一个角．
(2)一般在提取系数时，我们提取，特殊情况下，也可以提取－.
(3)θ由cosθ＝，sinθ＝决定．通常将θ化归到区间内．
(4)若令sinφ＝，cosφ＝，则有asinx＋bcosx＝(sinφsinx＋cosφcosx)＝cos(x－φ)．
因此，化一公式也可看作是两角和与差的正弦、余弦公式的逆向应用．
类型一 两角和与差的正弦公式的简单应用
[例1] 求值：(1)sin44°cos74°－sin74°cos44°；
(2)sin119°sin181°－sin91°sin29°.
[分析] 尝试运用非特殊角向特殊角转化或创造条件逆用公式，然后求值．
[解] (1)原式＝sin44°cos74°－cos44°sin74°
＝sin(44°－74°)＝sin(－30°)＝－.
(2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)·sin29°
＝cos29°(－sin1°)－cos1°sin29°
＝－(sin29°cos1°＋cos29°sin1°)
＝－sin(29°＋1°)＝－sin30°＝－.
