8．2.4 三角恒等变换的应用
第1课时 半角公式
[课程目标] 1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程．
2．掌握半角公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．
[填一填]
1．半角公式
sin＝±(S)；
cos＝±(C)；
tan＝±(T)．
2．半角公式的推导
在二倍角公式cos2α＝1－2sin2α，cos2α＝2cos2α－1中，用代替α得cosα＝1－2sin2，cosα＝2cos2－1.
由此得cos＝±(C)，
sin＝±(S)．
上面两式的两边分别相除，可得
tan＝±(T)．
3．半角正切公式的有理形式
根据正切函数的定义，得tan＝＝，tan＝＝，由此得到半角正切公式的有理形式：tan＝，tan＝.
[答一答]
1．应用半角的正弦、余弦公式时应注意哪些问题？
提示：(1)半角是相对于α而言的，＋＝2(＋)，即＋是＋的一半，α＋＝2(＋)＝4(＋)＝…，要正确理解倍角与半角的关系．
(2)C，S前的正负号是由所在的象限确定的，在没有给出决定符号的条件时，应在根号前保留正负两个符号；如果题目中给出角α的具体范围，则先求出所在的范围，然后再根据所在的范围确定符号．
2．应用半角的正切公式时应注意哪些问题？
提示：公式tan＝不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与公式tan＝±和tan＝的使用范围不完全相同，后两个公式只要α≠(2k＋1)π(k∈Z)，而第一个公式除α≠(2k＋1)π(k∈Z)之外，还必须有α≠2kπ(k∈Z)．当然，这三个式子可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用．
C，S，T可以变形为cos2＝，sin2＝，tan2＝，从左向右为降幂，从右向左为升幂．使用这些变形公式，可以进行角之间的转化，可以将三角函数的次数降低或升高，从而达到证明或化简的目的．
3．怎样确定半角公式中根号前的正负号？
提示：确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号原则：
(1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．
(2)若给出角α的具体范围(既某一区间)时，则先求所在范围，然后再根据所在范围确定符号．
(3)若给出的角α是某一象限的角时，则根据下表确定符号：
