第七章 三角函数
7．1 任意角的概念与弧度制
7．1.1 角的推广
[课程目标] 1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角．
2．掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法．
3．了解角的概念的推广是为了满足解决现实生活和生产中实际问题的需要，学会用数学的观点分析、解决实际问题，通过训练各种角的表示法提高分析、抽象、概括的能力．
[填一填]
1．任意角的概念
(1)角的概念：角可以看成一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形，这两条射线分别称为角的始边和终边．旋转生成的角，又常叫做转角．
(2)角的分类：按旋转方向，角可以分为三类：
(3)角的加减法的几何意义：角的减法运算可以转化为角的加法运算即α－β可化为α＋(－β)，这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和．
2．象限角
(1)使角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，把这个角称为第几象限角．
如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．
(2)①象限角的集合
第一象限角的集合{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝β＋k·360°，0°<β<90°，k∈Z}．
第二象限角的集合{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝β＋k·360°，90°<β<180°，k∈Z}．
第三象限角的集合{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝β＋k·360°，180°<β<270°，k∈Z}．
第四象限角的集合{α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝β＋k·360°，270°<β<360°，k∈Z}．
②终边落在坐标轴上的角的集合
终边落在x轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}．
终边落在x轴负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}．
终边落在x轴上的角的集合为{α|α＝k·180°，k∈Z}．
终边落在y轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}．
终边落在y轴负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}．
终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}．
终边落在坐标轴上的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．
3．终边相同的角
(1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，集合表示：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
(2)特殊角的集合(表示不唯一)．
①终边在一条射线上时，其角的集合为：
{α|α＝θ＋k·360°，k∈Z}
②终边在一条直线上时，其角的集合为：
{α|α＝θ＋k·180°，k∈Z}
③终边在两条相互垂直的直线上时，其角的集合为：
{α|α＝θ＋k·90°，k∈Z}
其中θ表示终边落在该直线(射线)上的任意角．
(3)区域角的集合．
如第一象限角：{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}．
[答一答]
1．如何理解终边相同的角？
提示：(1)α为任意角．
(2)集合S的每一个元素与α的终边相同，当k＝0时，对应元素为α.
(3)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)．
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同．
(5)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．
(6)k∈Z这一条件不可少．
