2011年高考数学二轮复习提前练：X2-1数学归纳法及其应用

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资源简介

1．用数学归纳法证明“1＋2＋2²＋……＋2ⁿ^－¹＝2ⁿ－1(n∈N^*)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到

(　　)

A．1＋2＋2²＋……＋2^k^－²＋2^k^－¹＝2^k^＋¹－1

B．1＋2＋2²＋……2^k＋2^k^＋¹＝2^k－1＋2^k^＋¹

C．1＋2＋2²＋……2^k^－¹＋2^k^＋¹－1＝2^k^＋¹－1

D．1＋2＋2²＋……2^k^－¹＋2^k＝2^k－1＋2^k

解析：当n＝k时，等式为1＋2＋2²＋……＋2^k^－¹＝2^k－1.那么当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋2²＋……＋2^k^－¹＋2^k，因此只需在归纳假设两端同时添加2^k，即1＋2＋2²＋……＋2^k^－¹＋2^k＝2^k－1＋2^k.

答案：D

2．设f(x)＝1＋＋＋…＋(x∈N^*)．求证：n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N^*且n≥2)．

证明：(1)n＝2时，左边＝2＋f(1)＝2＋1＝3，右边＝2·f(2)＝2(1＋)＝3，

∴等式成立．

(2)假设n＝k时等式成立，即k＋f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝kf(k)．

那么当n＝k＋1时，

左边＝(k＋1)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)

＝kf(k)＋1＋f(k)＝(k＋1)f(k)＋1

＝(k＋1)[f(k)＋－]＋1

＝(k＋1)f(k＋1)－1＋1

＝(k＋1)f(k＋1)．