利用导数解决函数的极值问题
?考法1 根据函数图像判断函数极值的情况
【例1】 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
D [由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．]
?考法2 求已知函数的极值
【例2】 已知函数f(x)＝(x－2)(ex－ax)，当a＞0时，讨论f(x)的极值情况．
[解] ∵f′(x)＝(ex－ax)＋(x－2)(ex－a)
＝(x－1)(ex－2a)，
∵a＞0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln 2a.
①当a＝时，f′(x)＝(x－1)(ex－e)≥0，
∴f(x)递增，故f(x)无极值．
②当0＜a＜时，ln 2a＜1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
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x
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(－∞，ln 2a)
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ln 2a
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(ln 2a,1)
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1
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(1，＋∞)
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|
f′(x)
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＋
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0
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－
|
0
|
＋
|
|
f(x)
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↗
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极大值
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↘
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极小值
|
↗
|
故f(x)有极大值f(ln 2a)＝－a(ln 2a－2)2，极小值f(1)＝a－e.
③当a＞时，ln 2a＞1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
