一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)∀x∈I,都有f(x)≤M;
(2)∃x0∈I,使得f(x0)=M.
那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值(maximum value).
最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素,如函数y=-x2(x∈R)的最大值是0,有f(0)=0.
[教材解难]
1.教材P80思考
函数f(x)的最大值包含“最大”和“值”两方面的含义.“最大”是指没有比它更大的,“值”是指一定是函数值.以f(x)=-x2为例,画出其图象(图略)可以发现:所有函数值都不大于1,但1不是f(x)的某个函数值,因而1不是f(x)的最大值;存在x0使f(x0)=-1,即-1是f(x)的某个函数值,但-1不是f(x)的函数值中最大的,因此也不是f(x)的最大值.两项要求均满足的函数值只能是0,即函数f(x)=-x2的最大值为0.
2.教材P80思考
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数m满足:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥m;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=m.
那么,我们称m是函数y=f(x)的最小值(minimum value)
[基础自测]
1.函数f(x)=在[1,+∞)上( )
A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值