2.1 曲线与方程
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系．
2．理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(重点)
3．掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程．(难点)
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1．通过曲线与方程的概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养．
2．借助曲线方程的求法，培养学生的逻辑推理素养及直观想象素养．
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1．曲线的方程与方程的曲线
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
思考：(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明．
(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？
[提示] (1)会出现曲线上的点的坐标不满足方程的情况，如方程y＝表示的曲线是半圆，而非整圆．
(2)充要条件是f(x0，y0)＝0．
2．求曲线方程的步骤
1．下列结论正确的个数为 ( )
(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝3；
(2)到x轴距离为3的直线方程为y＝－3；
(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝1；
(4)△ABC的顶点A(0，－3)，B(1,0)，C(－1,0)，D为BC的中点，则中线AD的方程为x＝0．
A．1 B．2
C．3 D．4
A [(1)满足曲线方程的定义，∴结论正确．(2)到x轴距离为3的直线方程还有一个y＝3，∴结论错误．(3)∵到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x|·|y|＝1，即xy＝±1，∴结论错误．(4)∵中线AD是一条线段，而不是直线，∴中线AD的方程为x＝0(－3≤y≤0)，∴结论错误．]
2．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( )
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
B [将点M的坐标代入直线l和曲线C的方程知点M在直线l上，也在曲线C上．]
3．方程4x2－y2＋4x＋2y＝0表示的曲线是( )
A．一个点 B．两条互相平行的直线
C．两条互相垂直的直线 D．两条相交但不垂直的直线
D [∵4x2－y2＋4x＋2y＝0，
∴(2x＋1)2－(y－1)2＝0，
∴2x＋1＝±(y－1)，
∴2x＋y＝0或2x－y＋2＝0，这两条直线相交但不垂直．]
4．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(－1,2)与动点P(x，y)满足·＝3，则点P的轨迹方程为________．
x－2y＋3＝0 [由题意＝(x，y)，＝(－1,2)，则·＝－x＋2y．由·＝3，得－x＋2y＝3，即x－2y＋3＝0．]
