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第3章 三角恒等变形
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
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三角函数的求值问题
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【例1】 已知tan ＝－，且<α<π，求的值．
[解] ＝
＝2cos α.
∵tan ＝＝－，
∴tan α＝－3，
∵α∈，∴cos α＝－，
∴＝2cos α
＝2×＝－.
三角函数求值主要有三种类型，即：
(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．
(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．
(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．
1．已知0<α<，0<β<，且3sin β＝sin (2α＋β)，4tan ＝1－tan2，求α＋β的值．
[解] ∵3sinβ＝sin (2α＋β)，
即3sin [(α＋β)－α]＝sin [(α＋β)＋α]，
整理得2sin (α＋β)cos α＝4cos (α＋β)sin α.
即tan (α＋β)＝2tan α.
又∵4tan ＝1－tan2，
∴tan α＝＝，
tan(α＋β)＝2tan α＝2×＝1.
∵α＋β∈，∴α＋β＝.
