3.1 排列与组合
3.1.1 基本计数原理
第1课时 基本计数原理
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理．(重点)
2．正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”．(易混点)
3．能利用两个原理解决一些简单的实际问题．(难点)
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1．通过两个计数原理的学习，培养逻辑推理的素养．
2．借助两个计数原理解决一些简单的实际问题，提升数学运算的素养.
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十三届全国人大三次会议在京召开，某政协委员5月19日从泉城济南前往北京参加会议，他有两类快捷途径：一是乘坐飞机，二是乘坐动车组．假如这天适合他乘坐的飞机有3个航班，动车组有4个班次．
问题1：此委员这一天从济南到北京共有多少种快捷途径？
问题2：如果该委员需要在5月19日先从家乡乘坐汽车到达济南市，再乘坐飞机前往北京参加会议，其中汽车有4班，飞机有3个航班，问：此委员想从家乡到达北京共有多少种途径？
1．分类加法计数原理
完成一件事，如果有n类办法 且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
思考：在分步乘法计数原理中，第1步采用的方法与第2步采用的方法之间有影响吗？
[提示] 无论第1步采用哪种方法，都不影响第2步方法的选取．
拓展：两个计数原理的区别与联系：
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分类加法计数原理
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分步乘法计数原理
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区别一
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每类办法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事
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每一步得到的只是中间结果(最后一步除外)，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各步都完成了，才能完成这件事
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区别二
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各类办法之间是互斥的、并列的、独立的
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各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复
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联系
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这两个原理都是用来计算做一件事情的不同方法数
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1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同． ( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( )
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的． ( )
(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4) ×
2．(教材P4尝试与发现改编)从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )
A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9
C．3×4×2＝24 D．以上都不对
B [分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法．]
3．已知x∈{2,3,7}，y∈{－1，－2,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是( )
A．1 B．3
C．6 D．9
D [这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－1，－2,4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点．]
4．一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一门出，共有不同走法________种．
16 [由分步乘法计数原理得4×4＝16.]
