3.2 数学探究活动：生日悖论的解释与模拟(略)
3.3 二项式定理与杨辉三角
第1课时 二项式定理
|
学 习 目 标
|
核 心 素 养
|
|
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及二项展开式的通项公式．(重点)
3.能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点)
|
1．通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养.
2.借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算的素养.
|
三个箱子均装着标有a，b字母的两个大小，形状一样的球，从每个箱子摸出一个球，共摸出3个球，有哪些可能结果？每一种结果有多少种情形？
问题：类比上述结果你能联想出(a＋b)3展开式的形式吗？
二项式定理及相关的概念
|
二项式定理
|
|
概念
|
公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)称为二项式定理
|
|
二项式系数
|
各项系数C(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数
|
|
二项式通项
|
Can－rbr是展开式中的第r＋1项，可记做Tr＋1＝Can－rbr(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)
|
|
二项展开式
|
Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)
|
思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？
[提示] 二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．
二项式系数是指C，C，…，C，而项的系数是指该项中除了变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．
思考2：二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式的第k＋1项是否相同？
[提示] 不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为Can－kbk，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为Cbn－kak.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n展开式中共有n项． ( )
(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． ( )
(3)Can－rbr是(a＋b)n展开式中的第r项． ( )
(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(x＋1)n的展开式共11项，则n等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
B [由n＋1＝11，可知n＝10.]
3．(y－2x)8展开式中的第6项的二项式系数是( )
A．C B．C(－2)5
C．C D．C(－2)6
C [由题意可知第6项的二项式系数为C.]
4．(x＋2)6的展开式中x3的系数是________．
160 [法一：设含x3的项为第r＋1项，则Tr＋1＝Cx6－r2r，令6－r＝3，则r＝3.
故x3的系数为C·23＝160.
法二：(x＋2)6表示6个括号相乘，要得到含x3的项，只需选出3个括号出x，另三个括号出2即可，即C·x3·23＝160x3.]
