排列、组合与二项式定理
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两个计数原理的应用
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【例1】 (1)方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，其中m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆的个数是________．
(2)某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？
(1)20 [以m的值为标准分类，分五类：
第一类：m＝1时，使n>m，n有6种选择；
第二类：m＝2时，使n>m，n有5种选择；
第三类：n＝3时，使n>m，n有4种选择；
第四类：n＝4时，使n>m，n有3种选择；
第五类：n＝5时，使n>m，n有2种选择；
所以共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法．]
(2)[解] 用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法．
第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6.分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式；
第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．
第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种．
(变条件)若本例(1)的条件“焦点在y轴上”改为“焦点在x轴上”，试求满足条件的椭圆的个数．
[解] 因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m>n>0，
以m的取值进行分类．
当m＝1时，n值不存在；
当m＝2时，n可取1，只有1种选择；
当m＝3时，n可取1,2，有2种选择；
当m＝4时，n可取1,2,3，有3种选择；
当m＝5时，n可取1,2,3,4，有4种选择；
由分类加法计数原理可知，符合条件的椭圆共有10个．
应用两个计数原理解决应用问题时主要考虑三方面的问题：(1)要做什么事；(2)如何去做这件事；(3)怎样才算把这件事完成了.并注意计数原则：分类用加法，分步用乘法.
1．有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都参加)
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；
(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．
[解] (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729(种)．
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．
(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种).
