4.2 随机变量
4.2.1 随机变量及其与事件的联系
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．理解随机变量的含义．(重点)
2．能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义．(难点)
3．会借助随机变量间的关系解题．(易错点)
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1．通过学习随机变量，培养数学抽象的素养．
2．借助随机变量间的关系解题，提升数学运算的素养.
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姚明每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？
(1)投进零个球——0分；
(2)投进1个球——1分；
(3)投进2个球——2分；
(4)投进3个球——3分．
1．随机变量
(1)定义：一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量．
(2)表示：用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，ζ，…表示．
(3)取值范围：随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围．
思考：随机变量的取值由什么决定？
[提示] 随机变量的取值由随机试验的结果决定．
2．随机变量与事件的联系
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X＞b等都表示事件，而且：
(1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b互斥；
(2)事件X≤a与X＞a相互对立，因此P(X≤a)＋P(X＞a)＝1.
3．随机变量的分类
(1)离散型随机变量：若随机变量的所有可能取值都是可以一一列举出来的，那么其是离散型随机变量．
(2)连续型随机变量：与离散型随机变量对应的是连续型随机变量，连续型随机变量的取值范围包含一个区间．
4．随机变量之间的关系
如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则
Y＝aX＋b也是一个随机变量，且P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个． ( )
(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．
( )
(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量． ( )
(4)在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．下列变量中，是离散型随机变量的是( )
A．到2020年10月1日止，我国发射的卫星
B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高
C．某人在车站等出租车的时间
D．某人投篮10次，可能投中的次数
D [离散型随机变量的取值是可以一一列举的，结合选项可知D正确．]
3．如果X是一个离散型随机变量，且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y( )
A．不一定是随机变量
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值
D．一定是离散型随机变量
D [由于X是离散型随机变量且Y＝aX＋b，故Y与X成线性关系，所以Y一定是离散型随机变量．]
4．(教材P65练习BT3改编)若P(X≤1)＝0.7，则P(X＞1)＝________.
0.3 [∵P(X≤1)＋P(X＞1)＝1，∴P(X＞1)＝1－P(X≤1)＝1－0.7＝0.3.]
