4.2.4 随机变量的数字特征
第1课时 离散型随机变量的均值
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点)
2．掌握两点分布、二项分布、超几何分布的均值．(重点)
3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点)
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1．通过学习离散型随机变量的均值，体会数学抽象的素养．
2．借助数学期望公式解决问题，提升数学运算的素养.
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某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的三种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
1．均值或数学期望
(1)定义：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示．
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X
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x1
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x2
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…
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xk
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…
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xn
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P
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p1
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p2
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…
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pk
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…
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pn
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则称
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝∑,\s\up8(ni＝1为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望)．
(2)意义：它刻画了X的平均取值．
(3)性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝ax＋b(a≠0)，
则E(Y)＝aE(x)＋b.
拓展：随机变量的均值公式与加权平均数的联系
加权平均数，假设随机试验进行了n次，根据X的概率分布，在n次试验中，x1出现了p1n次，x2出现了p2n次，…，xn出现了pnn次，故在n次试验中，X出现的总次数为p1nx1＋p2nx2＋…＋pnnxn.因此n次试验中，X出现的平均值等于＝E(X)．
故E(X)＝p1x1＋p2x2＋…＋pnxn.
2．两点分布、二项分布及超几何分布的均值
(1)若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)＝p.
(2)若X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np；
(3)若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X～H(N，n，M)，则E(X)＝.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．
( )
(2)随机变量的均值反映样本的平均水平． ( )
(3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4. ( )
(4)随机变量X的均值E(X)＝. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．若随机变量X的分布列为
则E(X)＝( )
A．0 B．－1
C．－ D．－
C [E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－＋＝－.故选C.]
3．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________.
35 [E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.]
4．(一题两空)若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为________；若随机变量Y～H(10,3,5)，则E(Y)＝________.
[E(X)＝np＝4×＝，E(Y)＝＝.]
