6.1 导数
6.1.1 函数的平均变化率
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.理解函数平均变化率的概念．(重点)
2．会求函数的平均变化率．(难点、易混点)
3．会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．(难点)
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1.通过函数平均变化率的学习，培养数学抽象素养．
2．借助函数平均变化率的计算，提升数学运算素养.
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某人走路的第1秒和第45秒的位移如图所示：
问题1：从A到B的位移是多少？从B到C的位移是多少？
问题2：AB段与BC段哪一段的速度较快？
1．函数的平均变化率
一般地，若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则
(1)自变量的改变量Δx＝x2－x1；
(2)因变量的改变量Δy＝y2－y1(或Δf＝f(x2)－f(x1))；
思考：在平均变化率中，Δx，Δy，是否可以为0？当平均变化率为0时，是否说明函数在该区间上一定为常函数？
[提示] 在平均变化率中，Δx可正可负但Δx不可以为0；Δy可以为0；可以为0.
当＝0时，并不能说明函数在该区间上一定为常函数，如f(x)＝x2在区间[－2,2]上的平均变化率是0，但它不是常函数．
拓展：函数平均变化率的几何意义
如图所示，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，事实上kAB＝＝.
2．平均速度与平均变化率
如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t1<t2时)或[t2，t1](t2<t1时)这段时间内的平均速度为 (m/s)．
即物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的平均变化率．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)Δx表示x2－x1，是相对于x1的一个增量，Δx的值可正可负，但不可为零． ( )
(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负，也可以为零． ( )
(3)表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率． ( )
(4)物体在某段时间内的平均速度为0，则物体始终处于静止状态． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2.如图，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
B [＝＝－1.]
