6．2.2 导数与函数的极值、最值
第1课时 函数的导数与极值
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学 习 目 标
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核 心 素 养
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1.理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件．(易混点)
2．会求函数的极值．(重点)
3．能利用导数解决与函数极值相关的综合问题．(难点)
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1.通过学习函数的极值、极值点等概念，培养数学抽象素养．
2．利用导数求函数的极值，提升逻辑推理、数学运算素养.
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在群山之中，某个山峰的顶端可能不是群山的最高点，但它一定是其附近的最高点；某个山谷，可能不是群山的最低点，但它一定是附近的最低点．对于连续函数，有类似的性质．
“极大”与“极小”都是文艺复兴时期德意志库萨的尼古拉用语．他认为一个事物，如果没有比它更大的事物存在，就叫做最大或极大．他还认为上帝是无限的极大，宇宙是相对的极大，而宇宙中的万物是极小．
1．函数的极值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有
(1)f(x)<f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取极大值；
(2)f(x)>f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值．
极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小．
思考1：极大值一定比极小值大吗？
[提示] 不一定．极值是一个局部性概念，是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或最小的，故极大值与极小值之间无法确定大小关系．
2．函数的导数与极值
一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0.
(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点．
(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点．
(3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点．
思考2：“f′(x0)＝0”是“x0是y＝f(x)的极值点”的什么条件？
[提示] “f′(x0)＝0”是“x0是y＝f(x)的极值点”的必要不充分条件．如f(x)＝x3，由f′(x)＝0得x＝0，但0不是f(x)＝x3的极值点．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)导数值为0的点一定是函数的极值点． ( )
(2)极大值一定比极小值大． ( )
(3)函数f(x)＝有极值． ( )
(4)函数的极值点一定是其导函数的变号零点． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
C [设y＝f′(x)的图像与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]
3．函数f(x)＝－的极值点为( )
A．0 B．－1
C．0或1 D．1
D [∵f′(x)＝x3－x2＝x2(x－1)，
由f′(x)＝0得x＝0或x＝1.
又当x＞1时f′(x)＞0，
0＜x＜1时f′(x)＜0，
又x＜0时f′(x)＜0，
∴1是f(x)的极小值点，
x＝0不是函数的极值点．]
