4.1.2 圆的一般方程
[目标] 1.知道二元二次方程表示圆的条件，会根据圆的一般方程求圆的圆心坐标和半径；2.会根据所给条件求圆的一般方程；3.会解答简单的轨迹问题．
[重点] 求圆的一般方程．
[难点] 求动点的轨迹方程．
知识点一 圆的一般方程
[填一填]
二元二次方程：
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①
配方得到：(x＋)2＋(y＋)2＝；
(1)当D2＋E2－4F>0时，方程表示以(－，－)为圆心，为半径的圆；
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点(－，－)．
(3)当D2＋E2－4F<0时，方程不表示任何图形．
当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个圆，称方程①为圆的一般方程．
[答一答]
1．形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圆吗？
提示：不是，只有D2＋E2－4F>0时才表示圆．
2．圆的标准方程和一般方程各有什么特点？二者怎样互化？
提示：(1)圆的标准方程明确地表达了圆的几何要素，即圆心坐标和半径长．
(2)圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，圆心和半径长需要代数运算才能得出．
(3)二者可以互化：将圆的标准方程展开成二元二次方程的形式即得一般方程，将圆的一般方程配方即得标准方程．
3．已知P(x0，y0)，圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，如果x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0，那么点P一定在圆内吗？
提示：一定在圆内．圆的方程化为标准方程得(x＋)2＋(y＋)2＝，由上节标准方程知点P在圆内⇔(x0＋)2＋(y0＋)2<⇔x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0.
知识点二 动点的轨迹方程
[填一填]
在直角坐标平面上，一个动点按照某种规律运动，所形成的曲线称为这个动点的轨迹，曲线的方程称为动点的轨迹方程．
求轨迹方程的一般步骤为：
(1)建系：建立适当的直角坐标系；
(2)设点：用(x，y)表示动点的坐标，该点是轨迹(曲线)上任意一点；
(3)列式：列出关于x，y的方程；
(4)化简：化方程为最简形式；
(5)证明：证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
说明：因为除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，所以步骤(5)可以省略不写，如果有特殊情况，可适当予以说明．
[答一答]
4．轨迹和轨迹方程等价吗？二者的联系是什么？
提示：(1)“轨迹”与“轨迹方程”有区别．“轨迹”是图形，是指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．
(2)求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先由条件判断轨迹图形，再由图形求方程．
类型一 圆的一般方程的概念
[例1] 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．
(1)x2＋y2＋x＋1＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；
(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
[解] (1)∵D＝1，E＝0，F＝1，
∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0.
∴方程(1)不表示任何图形．
(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，
∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0.
∴方程表示点(－a,0)．
