8.6 空间直线、平面的垂直
8．6.1 直线与直线垂直
[目标] 理解异面直线的定义，会求两异面直线所成角．
[重点] 异面直线的定义及两异面直线所成的角；直线与直线垂直的证明．
[难点] 求两异面直线所成的角．
要点整合夯基础
知识点 异面直线所成的角
[填一填]
[答一答]
1．在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？
提示：根据等角定理可知，异面直线a′与b′所成角的大小与点O的位置无关．但是为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等)．
2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，∠BAE＝25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为65°.
提示：∵B1C1∥BC，∴异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB＝90°－25°＝65°.
典例讲练破题型
类型一 异面直线所成的角
[例1] 如图，P是平面ABC外一点，PA＝4，BC＝2，D、E分别为PC和AB的中点，且DE＝3.求异面直线PA和BC所成角的大小．
[分析] (1)PA、BC移至同一个三角形中．(2)找出PA和BC所成的角．
[解] 如图，取AC中点F，连接DF、EF，在△PAC中，
∵D是PC中点，F是AC中点，
∴DF∥PA，同理可得EF∥BC，
∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角)．
在△DEF中，DE＝3，
又DF＝PA＝2，EF＝BC＝，
∴DE2＝DF2＋EF2.
∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.
