6.2.3 向量的数乘运算
[目标] 1.记住向量数乘的定义及其规定；2.能够利用向量共线基本定理解决共线问题；3.记住向量数乘运算法则并能进行相关运算．
[重点] 向量数乘的定义．
[难点] 向量共线基本定理．
要点整合夯基础
知识点一 向量数乘的定义
[填一填]
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；λ＝0时，λa＝0.
[答一答]
1．数乘向量与数乘数有什么区别？
提示：数乘向量与数乘数的区别：前者结果为一个向量，后者结果为一个实数．
2．－2a与a有什么关系？
提示：－2a与a方向相反，－2a的长度是a长度的2倍．
知识点二 向量数乘的运算律
[填一填]
实数与向量的积的运算律中，结合律是λ(μa)＝(λμ)a，它的几何意义是将表示向量a的有向线段先伸长或压缩|μ|倍，再伸长或压缩|λ|倍，与直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λμ|倍所得结果相同．
第一分配律是(λ＋μ)a＝λa＋μa，几何意义是将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λ|倍后，再与表示向量a的有向线段伸长或压缩|μ|倍后相加，与直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λ＋μ|倍所得结果相同．
第二分配律是λ(a＋b)＝λa＋λb，几何意义是将表示向量a、b的有向线段先相加，再伸长或压缩|λ|倍，与将表示向量a、b的有向线段先伸长或压缩|λ|倍，再相加所得结果相同．
[答一答]
3．向量数乘的运算律与实数乘法的运算律有什么不同？
提示：向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．
知识点三 向量共线基本定理
[填一填]
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
[答一答]
4．定理中条件a≠0能漏掉吗？
提示：定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，实数λ仍然存在，但λ是任意实数，不唯一；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.
5．与非零向量a共线的单位向量是±.
知识点四 线性运算
[填一填]
(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．
(2)任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
[答一答]
6．向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中常用的一些变形手段能否在向量的线性运算中应用？
提示：实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用．
