6.2.4 向量的数量积
第1课时 向量的数量积的概念
[目标] 1.理解两个向量夹角的定义，两向量垂直的定义；2.知道向量的投影向量；3.记住数量积的几个重要性质．
[重点] 向量夹角，数量积的含义及公式．
[难点] 向量夹角，数量积的重要性质．
要点整合夯基础
知识点一 向量的夹角
[填一填]
(1)已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)向量夹角θ的取值范围是0≤θ≤π；当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．
(3)如果向量a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
[答一答]
1．零向量与向量a的夹角是多少呢？
提示：向量的夹角是针对非零向量定义的，零向量与向量a的夹角没有意义．
2．等边三角形ABC中，向量与的夹角是60°吗？
提示：不是，求两个向量的夹角时，两个向量的起点必须相同，所以等边三角形ABC中，向量与的夹角是120°而不是60°.
知识点二 向量数量积的定义
[填一填]
(1)已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.
(2)零向量与任一向量的数量积为0.
[答一答]
3．向量的数量积与数乘向量的区别是什么？
提示：向量的数量积a·b是一个实数，数乘向量λa仍是一个向量．
知识点三 投影向量
[填一填]
如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量；
如图(2)，我们可以在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．
[答一答]
4．如图(2)，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么与e，a，θ之间有怎样的关系？
提示：对于任意的θ∈[0，π]，都有＝|a|cosθe.
