6．3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
[目标] 1.会实数与向量积的坐标表示；2.记住两个向量共线的坐标表示；3.能够应用向量共线的坐标表示解决相关问题．
[重点] 向量共线的坐标表示．
[难点] 向量共线的坐标表示的应用．
要点整合夯基础
知识点一 平面向量数乘运算的坐标表示及中点坐标公式
[填一填]
(1)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标；
(2)设向量a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)．
(3)中点坐标公式：若P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则
[答一答]
1．已知A(－5，－1)，B(3，－2)，则－的坐标为(－4，)．
解析：＝(3，－2)－(－5－1)＝(8，－1)，
∴－＝(－4，)．
知识点二 两个向量共线的坐标表示
[填一填]
(1)向量a，b共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)向量共线的坐标表示的推导
①设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)．
上式若用坐标表示，可写为a∥b⇔(x1，y1)＝λ(x2，y2)，
即a∥b⇔⇔x1y2－x2y1＝0.
②设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)＝0时，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
综上①②，向量共线的坐标表示为a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
[答一答]
2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，是否对于任意两向量都成立？还需注明b≠0吗？
提示：在向量共线定理中，a∥b⇔a＝λb(λ∈R)必需注明b≠0，而在“本问”中当b＝0时也成立，故不需注明b≠0.
3．当两个非零向量共线时，通过坐标如何判断它们是同向还是反向？
提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．
例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向．
典例讲练破题型
类型一 平面向量数乘运算的坐标表示
[例1] 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标．
[分析] 首先设出M、N的坐标，结合已知条件，分别建立关于M、N坐标的方程．从而求得M，N的坐标以及的坐标．
