第六章 平面向量及其应用
本章总结
平面向量的线性运算是近几年高考的考查重点和热点，通常以几何图形为依托考查向量的线性运算，重在对向量的分解与合成，一般以选择题或填空题的形式出现．
[例1] 如图，已知＝a，＝b，C为线段AO上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a，b表示的表达式为( )
A.(4a＋3b) B.(9a＋7b)
C.(2a＋b) D.(3a＋b)
[解析] ∵＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋
＝＋＝(4a＋3b)，∴故选A.
[答案] A
数量积的运算是本章的核心，由于数量积的运算及其性质涵盖向量的长度、角度以及不等式等，因此它的应用也最广泛．利用数量积可以求长度、也可判断直线与直线之间的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算将代数中的有关函数、不等式以及数列等知识融合在一起，当然更为重要的还在于向量与解析几何中的交汇．
[例2] 平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(3)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1，求向量d.
[解] (1)∵a＝mb＋nc，
∴(3,2)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴解得
(2)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
∴2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0，即k＝－.
(3)∵d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，
又(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝1，
∴
