第七章 复数
7．1 复数的概念
7．1.1 数系的扩充和复数的概念
[目标] 1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法．
[重点] 复数的概念及复数相等的条件．
[难点] 复数的理解与引入．
要点整合夯基础
知识点一 复数的概念
[填一填]
1．复数与复数集
我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．
2．复数的代数形式
复数通常用z表示，z＝a＋bi(a，b∈R)，叫做复数的代数形式．其中a与b分别叫复数z的实部与虚部．
[答一答]
1．如何理解虚数单位i?
提示：①i2＝－1；②i可与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍成立．
2．能说形如a＋bi(其中i为虚数单位)的数叫做复数？
提示：不能．只有当a，b∈R时，结论才成立．
知识点二 复数的分类与复数相等
[填一填]
1．复数的分类
(1)对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，它是实数，当b≠0时，它叫做虚数，当a＝0且b≠0时，它叫做纯虚数．
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，如图所示：
2．复数相等
a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等当且仅当a＝c且b＝d.
[答一答]
3．(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时为实数，当a＝0时为虚数，这种说法正确吗？
(2)形如bi的数一定是纯虚数吗？
提示：(1)这种说法不正确，复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，当b＝0时为实数；当a＝0时z不一定为虚数，因为当a＝b＝0时，z＝0是实数，而不是虚数．
(2)不一定，只有在bi中，当b∈R且b≠0时它才是纯虚数，当b＝0时，bi＝0不是纯虚数，当b∉R时，也不是纯虚数．
4．两个复数能否比较大小？
提示：两个复数不一定能比较大小，只有当两个复数全部为实数时，才能比较大小，否则不能比较大小，只能判定这两个复数相等或者不相等．这是因为虚数单位i与实数0的大小关系不确定，若i>0，则两边同乘以i，有i2>0，即－1>0，这是不可能的．若i<0，则两边同时平方得i2>0，即－1>0，这也不可能.
