7.2.2 复数的乘、除运算
[目标] 1.掌握复数的乘法法则，能熟练地进行复数的乘法运算；2.理解共轭复数的意义；3.掌握复数的除法法则，能熟练地进行复数的除法运算．
[重点] 复数的乘法与除法的运算法则．
[难点] 复数的除法运算．
要点整合夯基础
知识点一 复数的乘法运算
[填一填]
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数的乘法满足的运算律
对任意z1、z2、z3∈C，有
[答一答]
1．两个复数的乘法运算法则类似多项式的乘法法则，多个复数的乘法呢？
提示：多个复数的乘积运算也类似多项式相乘的规律，把复数逐一相乘，再分别合并实部、虚部．
2．若z1，z2∈C，(z1＋z2)2＝z＋2z1·z2＋z是否成立？
提示：成立．复数的乘法(乘方)类似于实数范围内的多项式的乘法(乘方)，只不过是在运算中遇到i2时就将其换为－1，因此在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立．
知识点二 复数的除法运算
[填一填]
复数代数形式的除法法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．
[答一答]
3．复数除法的实质是怎样的？
提示：复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．
典例讲练破题型
类型一 复数的乘法运算
[例1] (1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝( )
A．3－4i B．3＋4i
C．4－3i D．4＋3i
(2)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
[分析] 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
[解析] (1)∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，
∴a＝2，b＝－1，
∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.
(2)因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以
解得所以a＋bi＝1＋2i.
[答案] (1)A (2)1＋2i
