2022届高考统考一轮复习第3章导数及其应用命题探秘1第2课时利用导数研究不等式恒能成立问题教师用书教案理（数学）

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资源简介

技法阐释

用导数解决不等式“恒成立”“存在性”问题的常用方法是分离参数，或构造新函数分类讨论，将不等式问题转化为函数的最值问题.

1.分离参数法

一般地，若a＞f(x)对x∈D恒成立，则只需a＞f(x)_max；若a＜f(x)对x∈D恒成立，则只需a＜f(x)_min.若存在x₀∈D，使a＞f(x₀)成立，则只需a＞f(x)_min；若存在x₀∈D，使a＜f(x₀)成立，则只需a＜f(x₀)_max.由此构造不等式，求解参数的取值范围.

2.构造函数分类讨论法

有两种常见情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数.

高考示例

(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝e^x＋ax²－x.

(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；

(2)当x≥0时，f(x)≥x³＋1，求a的取值范围.