1．(2018年全国卷Ⅰ)如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R；bc是半径为R的四分之一圆弧，与ab相切于b点．一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始向右运动．重力加速度为g．小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为 ( )
A．2mgR B．4mgR
C．5mgR D．6mgR
【答案】C 【解析】设小球运动到c点的速度大小为vc，则对小球由a到c的过程，由动能定理有F×3R－mgR＝mv，又F＝mg，解得vc＝2．小球离开c点后，在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，竖直方向在重力作用下做匀减速直线运动，由牛顿第二定律可知，小球离开c点后水平方向和竖直方向的加速度大小均为g，则由竖直方向的运动可知，小球从离开c点到其轨迹最高点所需的时间为t＝＝2，在水平方向的位移大小为x＝gt2＝2R．由以上分析可知，小球从a点开始运动到其轨迹最高点的过程中，水平方向的位移大小为5R，则小球机械能的增加量为ΔE＝F×5R＝5mgR，C正确，A、B、D错误．
2．(2021年云南检测)(多选)如图所示，B、M、N分别为竖直光滑圆轨道上的三个点，B点和圆心O等高，M点与O点在同一竖直线上，N点和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α＝45°．现从B点的正上方某处A点由静止释放一个质量为m的小球，经圆轨道飞出后沿水平方向通过与O点等高的C点，已知圆轨道半径为R，重力加速度为g，不计空气阻力，则以下结论正确的是 ( )
A．A、B两点间的高度差为R
B．C到N的水平距离为2R
C．小球在M点对轨道的压力大小为(3＋)mg
D．小球从N点运动到C点的时间为
【答案】AC 【解析】从A点到C点有mgh＝mv，从A点到N点有mg(h＋Rcos 45°)＝mv，其中vC＝vNcos 45°，联立解得h＝R，vN＝，A正确；小球从N运动到C的时间t＝＝，则C到N的水平距离为xCN＝vNcos 45°·t，解得xCN＝R，B、D错误；从A到M点有mg(h＋R)＝mv，在M点FN－mg＝m，解得FN＝(3＋)mg，由牛顿第三定律，小球在M点对轨道的压力大小为FN′＝FN＝(3＋)mg，C正确．
3．(2021年齐齐哈尔期末)如图所示，固定的粗糙弧形轨道下端B点水平，上端A与B点的高度差为h1＝0.3 m，倾斜传送带与水平方向的夹角为θ＝37°，传送带的上端C点与B点的高度差为h2＝0.112 5 m(传送带传动轮的大小可忽略不计)．一质量为m＝1 kg的滑块(可看作质点)从轨道的A点由静止滑下，然后从B点抛出，恰好以平行于传送带的速度从C点落到传送带上，传送带逆时针转动，速度大小为v＝0.5 m/s，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.8，且传送带足够长，滑块运动过程中空气阻力忽略不计，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，试求：
(1)滑块运动至C点时的速度vC大小；
(2)滑块由A到B运动过程中克服摩擦力做的功Wf；
(3)滑块在传送带上运动时与传送带摩擦产生的热量Q．
解：(1)在C点，竖直分速度vy＝＝1.5 m/s，
由vy＝vCsin 37°，解得vC＝2.5 m/s．
(2)C点的水平分速度与B点的速度相等，则
vB＝vx＝vCcos 37°＝2 m/s，
从A到B点的过程中，根据动能定理得
mgh1－Wf＝mv，
解得Wf＝1 J．
(3)滑块在传送带上运动时，根据牛顿第二定律有
μmgcos 37°－mgsin 37°＝ma，
解得a＝0.4 m/s2．
达到共同速度所需时间t＝＝5 s，
两者间的相对位移Δx＝t－vt＝5 m．
由于mgsin 37°<μmgcos 37°，此后滑块将做匀速运动．
故滑块在传送带上运动时与传送带摩擦产生的热量
Q＝μmgcos 37°·Δx＝32 J．
