(2021·北京卷)已知正方体ABCDA1B1C1D1，点E为A1D1中点，直线B1C1交平面CDE于点F．
(1)求证：点F为B1C1中点；
(2)若点M为棱A1B1上一点，且二面角MCFE的余弦值为，求．
[规范解答]
(1)证明：因为ABCDA1B1C1D1为正方体，所以A1D1∥B1C1，CD∥C1D1.1分
又因为CD⊄平面A1B1C1D1，C1D1⊂平面A1B1C1D1，所以CD∥平面A1B1C1D1.2分
因为平面CDEF∩平面A1B1C1D1＝EF，且CD⊂平面CDEF，所以CD∥EF，故C1D1∥EF．
所以四边形EFC1D1为矩形．3分
又点E为A1D1中点，故C1F＝D1E＝A1D1＝C1B1，故点F为B1C1中点．4分
(2)解：因为ABCDA1B1C1D1为正方体，所以DA，DC，DD1两两垂直．以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．5分
令正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，设＝λ(0≤λ≤1)，则C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(1,2,2)，M(2,2λ，2)，所以＝(1，－2,2)，＝(1,0,2)，＝(2,2λ－2,2)．6分
设平面CEF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即
令z1＝－1，则x1＝2，y1＝0，可取n1＝(2,0，－1)．
又平面CMF的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则即
令z2＝－1，则x2＝2，y2＝，可取n2＝．10分
