考点1 范围问题——综合性
(2021·梅州二模)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x＋y＋2－1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)△BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为△BMN的重心，求点B到直线MN距离的取值范围．
解：(1)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F2(c,0)，则以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆：(x－c)2＋y2＝a2，
所以圆心到直线x＋y＋2－1＝0的距离d＝＝a．
又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a＝2c，b＝c，
解得a＝2，b＝，c＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1．
(2)设B(m，n)，设M，N的中点为D，直线OD与椭圆交于A，B两点．
因为O为△BMN的重心，则BO＝2OD＝OA，所以D，
即B到直线MN的距离是原点O到直线MN距离的3倍．
