1、（2022·湖南卷·T14）如图（a），质量为m篮球从离地H高度处由静止下落，与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地h的最高处。设篮球在运动过程中所受空气阻力的大小是篮球所受重力的 倍（ 为常数且 ），且篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比相同，重力加速度大小为g。
（1）求篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比；
（2）若篮球反弹至最高处h时，运动员对篮球施加一个向下的压力F，使得篮球与地面碰撞一次后恰好反弹至h的高度处，力F随高度y的变化如图（b）所示，其中 已知，求 的大小；
（3）篮球从H高度处由静止下落后，每次反弹至最高点时，运动员拍击一次篮球（拍击时间极短），瞬间给其一个竖直向下、大小相等的冲量I，经过N次拍击后篮球恰好反弹至H高度处，求冲量I的大小。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
（1）篮球下降过程中根据牛顿第二定律有
mg - λmg=ma下
再根据匀变速直线运动的公式，下落的过程中有
v下2= 2a下H
篮球反弹后上升过程中根据牛顿第二定律有
mg + λmg=ma上
再根据匀变速直线运动的公式，上升的过程中有
v上2= 2a上h
则篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比
（2）若篮球反弹至最高处h时，运动员对篮球施加一个向下的压力F，则篮球下落过程中根据动能定理有
篮球反弹后上升过程中根据动能定理有
联立解得
（3）由（1）问可知篮球上升和下降过程中的加速度分别为
a下= (1 – λ)g（方向向下）
a上= (1 + λ)g（方向向下）
由题知运动员拍击一次篮球（拍击时间极短），瞬间给其一个竖直向下、大小相等的冲量I，由于拍击时间极短，则重力的冲量可忽略不计，则根据动量定理有
I=mv
即每拍击一次篮球将给它一个速度v。
拍击第1次下降过程有
v12 - v2= 2(1 – λ)gh0
上升过程有
(kv1)2= 2(1 + λ)gh1
代入k后，下降过程有
v12 - v2= 2(1 – λ)gh0
上升过程有
hv12= 2(1 – λ)gHh1
联立有
拍击第2次，同理代入k后，下降过程有
v22 - v2= 2(1 – λ)gh1
上升过程有
hv22= 2(1 – λ)gHh2
联立有
再将h1代入h2有
拍击第3次，同理代入k后，下降过程有
v32 - v2= 2(1 – λ)gh2
上升过程有
hv32= 2(1 – λ)gHh3
联立有
再将h2代入h3有
直到拍击第N次，同理代入k后，下降过程有
vN2 - v2= 2(1 – λ)ghN - 1
上升过程有
hvN2= 2(1 – λ)gHhN
联立有
将hN-1代入hN有
其中
hN=H，h0=h
则有
则
